Black-Scholes malli

Black-Scholes tai Black-Scholes-Merton-malli on matemaattinen malli rahoitusmarkkinoiden sisältävät tiettyjä johdannaissopimusten sijoituskohteisiin. Mallista, voidaan päätellä Black-Scholes kaavaa, joka antaa teoreettinen arvio hinta eurooppalaista tyyliä vaihtoehtoja. Kaava johti puomi vaihtoehdoista kaupankäynnin ja legitimoi tieteellisesti toiminnasta Chicago Board Options Exchange ja muita vaihtoehtoja markkinoilla ympäri maailmaa. Se on laajalti käytössä, vaikka usein muutoksia ja korjauksia, jonka vaihtoehtoja markkinaosapuolille. Monet empiiriset testit ovat osoittaneet, että Black-Scholes hinta on "melko lähellä" havaittu hintoja, vaikka tunnettuja poikkeamia kuten "vaihtoehto hymy".

Black-Scholes malli julkaisi ensimmäisen kerran Fischer Black ja Myron Scholes niiden 1973 paperin, "hinnoittelu Valinnat ja Corporate velat", julkaistiin Journal of Political Economy. Ne on johdettu osittaisdifferentiaaliyhtälö, nyt nimeltään Black-Scholes yhtälö, joka arvioi hinta optio ajan. Keskeinen ajatus malli on suojata vaihtoehto ostamalla ja myymällä kohde-etuuden juuri oikealla tavalla ja sen seurauksena, poistaa riskin. Tämän tyyppinen suojauksen kutsutaan delta suojaus ja on perusta monimutkaisempi suojausstrategioita kuten harjoittaa investointipankkien ja hedge-rahastoihin.

Robert C. Merton oli ensimmäinen julkaista paperi laajenee matemaattista ymmärrystä vaihtoehtoja hinnoittelumallin, ja termin "Black-Scholes vaihtoehtoja hinnoittelumallin". Merton ja Scholes sai 1997 Nobelin taloustieteen työstään. Vaikka voida myöntää palkinnon, koska hänen kuolemaansa vuonna 1995, musta mainittiin rahoittaja Ruotsin akatemian.

Mallin oletuksia on rento ja yleistetty moneen suuntaan, mikä lukuisia malleja, käytetään nykyään johdannaissopimusten hinnoittelussa ja riskienhallintaa. Se on oivalluksia mallin, esimerkkinä Black-Scholes kaavaa, joita käytetään usein markkinaosapuolten, erotuksena todelliset hinnat. Näiden tietojen ovat ei-arbitraasia rajoja ja riskineutraalin hinnoitteluun. Black-Scholes yhtälö, osittaisdifferentiaaliyhtälö joka hallitsee hinta vaihtoehto, on myös tärkeää, koska se mahdollistaa hinnoittelun nimenomaisen kaava ei ole mahdollista.

Black-Scholes kaava on vain yksi parametri, jota ei voi havaita markkinoilla: keskimääräinen volatiliteetista kohde-etuuden. Koska kaava kasvaa tämän parametrin, se voidaan kääntää tuottaa "haihtuvuus pinta", jota sitten käytetään kalibrointiin muita malleja, esim OTC-johdannaisille.

Black-Scholes maailma

Black-Scholes mallissa oletetaan, että markkinat muodostuvat ainakin yhden riskialtista voimavara, yleensä kutsutaan varastossa, ja yksi ilman riskiä toimivana voimavara, yleensä kutsutaan rahamarkkinoilla, käteisellä, tai sidos.

Nyt teemme oletuksia varojen:

  • Tuotto riskitön voimavara on vakio ja siten kutsutaan riskitön korko.
  • Hetkellinen loki tuottoa osakekurssi on äärettömän pieni satunnainen kävellä ajelehtia; tarkemmin, se on geometrinen Brownin liike, ja oletamme sen drift ja volatiliteetti on vakio.
  • Varastossa ei maksa osinkoa.

Oletukset markkinoilla:

  • Ei ole keinottelu.
  • On mahdollista lainata ja lainata siitä määrästä, jopa murto, käteistä ilman riskiä toimivana nopeudella.
  • On mahdollista ostaa ja myydä määrä, jopa murto, varastossa.
  • Edellä toimet eivät aiheuta palkkiot ja kulut.

Näillä oletuksilla tilan, kai siellä on johdannainen turvallisuus myös kaupankäynti näillä markkinoilla. Määrittelemme että tämä turvallisuus on tietty loppuratkaisu tiettynä päivänä tulevaisuudessa, riippuen arvosta ottanut varastosta siihen mennessä. On yllättävää, että johdannaisen hinta on täysin määritetty kellonaika, vaikka emme tiedä mitä polkua osakekurssi ryhtyä tulevaisuudessa. Sillä erikoistapaus Euroopan osto- tai myyntioptio, musta ja Scholes osoitti, että "se on mahdollista luoda suojattu positio, joka koostuu pitkän position varastossa ja lyhyen position vaihtoehto, jonka arvo ei riipu hinta varastossa ". Dynaamisen suojausstrategiasta johti osittaisdifferentiaaliyhtälö joka säätelee hinta vaihtoehto. Sen ratkaisu saadaan Black-Scholes kaavaa.

Useat näistä oletuksista alkuperäisen mallin on poistettu sen laajennuksissa mallin. Modernit versiot osuus dynaaminen korkoja, transaktiokustannukset ja veroja, ja osingonjaon.

Merkintätapa

Päästää

Lopuksi käytämme kuvaamaan standardin normaali kertymäfunktio,

tulee tarkoittamaan standardin normaalijakauman tiheysfunktion,

Black-Scholes yhtälö

Kuten edellä, Black-Scholes yhtälö on osittaisdifferentiaaliyhtälö, joka kuvaa hinta optio ajan. Yhtälö on:

Keskeiset taloudelliset käsityksen takana yhtälö on, että yksi voi täysin suojata vaihtoehto ostamalla ja myymällä kohde-etuuden juuri oikealla tavalla ja siten "poistamaan riski". Tämä hedge puolestaan ​​merkitsee sitä, että on olemassa vain yksi oikea hinta vaihtoehto, palauttama Black-Scholes kaavaa.

Black-Scholes kaavaa

Black-Scholes kaava laskee hinta eurooppalaisten osto- ja. Tämä hinta vastaa Black-Scholes yhtälö kuten edellä; Tästä seuraa, sillä on kaava voidaan saada ratkaisemalla yhtälö vastaavaan terminaaliin ja reunaehdot.

Arvo osto-optio ei osingonmaksukyky optioiden suhteen Black-Scholes parametrit on:

Hinta vastaavan laittaa vaihtoehto perustuu laittaa-puhelu pariteetti on:

Sekä, kuten edellä:

  • on kertymäfunktio standardin normaalijakauman
  • on aika maturiteetti
  • on spot-hinta kohde-etuuden
  • on lunastushinta
  • on riskitön korko
  • on volatiliteetti tuottojen etuuden

Vaihtoehtoinen muotoilu

Käyttöön joitakin apumuuttujia mahdollistaa kaava on yksinkertaistettava ja muotoiltava uudelleen muodossa, joka on usein helpompaa:

Apumuuttujia ovat:

  • on aika päättymistä
  • on diskonttaustekijä
  • on eteenpäin hinta etuuden, ja

D + = D1 ja D = d2 selventää merkintätapaa.

Koska laita-puhelun pariteetti, joka on ilmaistu ehtoihin:

hinta myyntioptio on:

Tulkinta

Black-Scholes kaavaa voidaan tulkita melko kätevästi, joiden pääasiallisena hienovaraisuus ehtojen tulkintaa, erityisesti ja miksi on olemassa kaksi eri termejä.

Kaava voidaan tulkita ensin hajottamalla osto-optio osaksi ero kahden binary vaihtoehtoja: omaisuuserän tai ei mitään puhelun miinus käteisellä tai ei mitään soittaa. Osto-optio vaihto rahaa omaisuuserän päättymistä, kun omaisuuserä tai ei mitään soittaa vain antaa omaisuuserän ja rahavirtaa tai ei mitään puhelun vain tuottaa käteistä. Black-Scholes kaava on ero kahden termin, ja nämä kaksi termiä yhtä arvo binary puheluasetukset. Nämä binary vaihtoehtoja on paljon harvemmin kauppaa kuin vanilja osto-optiot, mutta on helpompi analysoida.

Näin on kaava:

hajottaa kuten:

jossa on nykyarvo omaisuuserän tai ei mitään puhelun ja on nykyarvo käteistä tai ei mitään soittaa. D kerroin on alennettuun hintaan, koska viimeinen voimassaolopäivä on tulevaisuudessa, ja poistamalla se muuttuu nykyarvo tuleviin arvo. Näin on tuleva arvo omaisuuserän tai ei mitään puhelun ja on tuleva arvo rahavirtaa tai ei mitään soittaa. Riskin-neutraali, nämä ovat odotettavissa omaisuuden arvoa ja odotusarvo käteistä riskineutraalin toimenpide.

Naiivi, ja ei aivan oikein, tulkitsemalla on, että on todennäköisyys vaihtoehto päättyviä rahaa, kertaa arvo kohde-etuuden päättymistä F, kun on todennäköisyys vaihtoehto päättyviä rahaa kertaa arvo käteistä päättymistä K. Tämä on tietysti väärä, joko molemmat binaarit vanhenee rahat tai molemmat päättyvät ulos rahaa, mutta todennäköisyydet ja eivät ole samanarvoisia. Itse asiassa, voidaan tulkita toimenpiteet moneyness ja todennäköisyydet päättyy ITM, vastaavassa numeraire, kuten jäljempänä. Yksinkertaisesti sanottuna, tulkinta rahakorvauksen ,, on oikea, arvo käteistä on riippumaton liikkeiden taustalla, ja siten voidaan tulkita yksinkertainen tuote "todennäköisyys kertaa arvo", kun taas on monimutkaisempi, koska todennäköisyys päättyy vuonna rahaa ja arvo omaisuuserän päättymistä eivät ole riippumattomia. Tarkemmin, arvo omaisuuserän päättymistä vaihtelee rahana, mutta on vakio kannalta hyödykkeen itse, ja siksi nämä määrät ovat riippumattomia jos yksi muuttuu numeraire omaisuuserään käteisen sijaan.

Jos käytetään paikalla S sijasta eteenpäin F, vuonna sijasta aikavälillä on joka voidaan tulkita drift tekijä. Käyttö d- varten moneyness pikemminkin kuin standardoidut moneyness - toisin sanoen, syy tekijä - johtuu ero mediaani ja keskiarvo log-normaalijakauma; se on sama tekijä kuin Iton lemma soveltaa geometrinen Brownin liike. Lisäksi toinen tapa nähdä, että naiivi tulkinta on virheellinen, että korvaaminen N N kaavassa saadaan negatiivinen arvo out-of-the-money osto-optioita.

Yksityiskohtaisesti, ehdot ovat todennäköisyydet vaihtoehto päättyviä--rahaa alle vastaava eksponentiaalinen martingaali todennäköisyys toimenpide ja vastaavat martingaali todennäköisyys toimenpide, vastaavasti. Riskineutraalista todennäköisyyden tiheys osakekurssi on

jossa on edellä määritelty.

Erityisesti on todennäköisyys, että puhelu käyttää edellyttäen oletetaan, että omaisuuserä drift on riskitön korko., Ei kuitenkaan sovellu yksinkertainen todennäköisyys tulkintaa. oikein tulkitaan nykyarvo käyttäen riskitöntä korkoa, on odotettavissa varallisuushintojen klo kulunut, koska hyödykkeen hinta päättyminen on yli toteutushinta. Aiheeseen liittyviä keskustelu - ja graafinen esitys - katso kohta "tulkinta" alla DATAR-Mathews menetelmä todellinen vaihtoehto arvostus.

Vastaava Martingale todennäköisyysmitta kutsutaan myös riskineutraali todennäköisyys toimenpide. Huomaa, että molemmat ovat todennäköisyydet toimenpiteeseen teoreettista järkeä, ja kumpikaan näistä on tosi todennäköisyys päättyviä--rahaa alle todellinen todennäköisyys toimenpide. Laskea todennäköisyys alla todellinen todennäköisyys toimenpide, lisätietoja tarvitaan drift termi fyysisessä toimenpide, tai vastaavasti, markkinahinta riski.

Derivations

Standardipoikkeama ratkaista Black-Scholes PDE annetaan artikkelissa Black-Scholes yhtälö.

Feynmanin-Kac kaava kertoo, että ratkaisu tämäntyyppisen PDE, kun alennettuun asianmukaisesti, on itse asiassa martingaali. Näin option hinta on odotusarvo diskontattu loppuratkaisu option. Computing option hinta kautta tämä odotus on riski puolueettomuus lähestymistapa ja voidaan tehdä ilman tietoa PDE. Huomaa odotus optio loppuratkaisu ei tehdä alle reaalimaailman todennäköisyys toimenpide, mutta keinotekoinen riskineutraaliin toimenpide, joka eroaa todellisesta maailmasta toimenpide. Sillä logiikka katso kohta "riskineutraalista arvostus" alla järkevää hinnoittelua sekä kohdassa "Johdannaiset Hinnoittelu: Q maailma" alla Matemaattinen rahoitus; yksityiskohdille, jälleen kerran, katso Hull.

Kreikkalaiset

"Kreikkalaiset" mitata herkkyys arvon johdannaisen tai salkun muutoksiin parametrin arvo pitäen muut parametrit kiinteä. Ne ovat osittaisia ​​johdannaisia ​​hinta suhteessa parametrien arvot. Yksi Kreikan, "gamma" on osittainen johdannainen toisen Kreikan, "delta" tässä tapauksessa.

Kreikkalaiset ovat tärkeitä paitsi matemaattinen teoria rahoitusta, mutta myös niille aktiivisesti kauppaa. Rahoituslaitokset yleensä vahvistettava raja-arvot kullekin kreikkalaiset, että niiden elinkeinonharjoittajien ei saa ylittää. Delta on tärkein Kreikan koska tämä yleensä antaa suurimman riskin. Monet kauppiaat nollaa niiden delta lopussa päivä, jos niitä ei spekuloivat ja seuraavia delta-suojaustasosta lähestymistapaa määritelty Black-Scholes.

Kreikkalaiset Black-Scholes annetaan suljetussa muodossa alla. Ne voidaan saada eriyttäminen Black-Scholes kaavaa.

Huomaa, että kaavoista, on selvää, että gamma on sama arvo puheluista ja puts ja niin on Vega sama arvo puheluista ja myyntioptiot. Tämä näkyy suoraan laittaa-puhelun pariteetti, koska ero istuta ja puhelu on eteenpäin, joka on lineaarinen S ja riippumaton σ.

Käytännössä jotkut herkkyydet ovat yleensä lainattu riisuttu ehdot, vastaamaan todennäköisten muutoksia parametreihin. Esimerkiksi rho on usein raportoitu jaettuna 10000, Vega 100, ja theta 365 tai 252.

kuten V.)

Laajennukset mallin

Edellä malli voidaan jatkaa vaihtuvakorkoisia ja volatiliteetteja. Mallia voidaan käyttää myös arvostamaan Euroopan vaihtoehtoja välineitä tuottaa tulosta. Tässä tapauksessa, suljetun muodon ratkaisut ovat käytettävissä, jos osinko on tunnettu osuus osakekurssi. American optioiden varastoja maksaa tunnettu käteisosinko on vaikeampi arvoa, ja valinta ratkaisu tekniikoita on käytettävissä.

Instruments maksaa jatkuva tuotto osingot

Saat vaihtoehtoja indekseihin, on järkevää tehdä yksinkertaistava oletus, että osinko maksetaan jatkuvasti, ja että osinkoa on verrannollinen indeksin.

Osingonmaksun maksettu ajanjaksolta sitten mallinnetaan

joidenkin vakio.

Tämän muotoilu katvealueiden vapaa hintaan, joka ilmenee Black-Scholes mallia voidaan osoittaa olevan

ja

jossa nyt

on muutettu eteenpäin hinta, joka tapahtuu ehdoin:

ja

Laajentaminen Black Scholes kaavaa säätäminen varten maksuja taustalla.

Instruments maksaa diskreetti verrannollinen osinkojen

On myös mahdollista laajentaa Black-Scholes puitteet vaihtoehtoja välineisiin maksamisesta erillisiä verrannollinen osinkoja. Tämä on hyödyllistä, kun vaihtoehto on iski yhdellä varastossa.

Tyypillinen malli on olettaa, että osa osakekurssi maksetaan ennalta määritetyn kertaa. Hinta varastossa on sitten mallinnetaan

jossa on määrä osingoista on maksettu ajan.

Hinta osto-optio tällainen kanta on jälleen

jossa nyt

on hinta futuurimarkkinoilla osingonmaksukyky varastossa.

American vaihtoehtoja

Ongelma löytää hinta amerikkalainen vaihtoehto on sukua optimaalinen pysäyttäminen ongelma löytää aikaa suorittaa vaihtoehto. Koska amerikkalainen optio voidaan käyttää milloin tahansa ennen viimeistä käyttöpäivää, Black-Scholes yhtälö epätasa lomakkeen

Terminaalin ja reunaehdot: ja missä tarkoittaa loppuratkaisu on osakekurssi

Yleensä tämä eriarvoisuus ei ole suljetussa muodossa ratkaisu, vaikka amerikkalainen puhelun osinkoa ei vastaa Euroopan puhelun ja roll-Geske-Whaley menetelmä tarjoaa ratkaisun amerikkalainen puhelun yhdellä osinko.

Barone-Adesi ja Whaley on edelleen likiarvokaavan. Täällä, stokastinen ero yhtälö on jaettu kahteen osaan: Euroopan vaihtoehto arvoa ja eräpäivää palkkion. Joidenkin oletusten asteen yhtälö, joka approksimoi ratkaisu jälkimmäinen saadaan sitten. Tämä ratkaisu on löytää kriittisen arvon ,, niin, että yksi on välinpitämätön välillä eräpäivää ja tilan kypsyyttä.

Bjerksund ja Stensland antaa approksimaatio perustuu harjoituksen strategia vastaa käynnistyshinta. Täällä, jos kohde-etuuden hinta on suurempi tai yhtä suuri kuin käynnistyshinta on optimaalinen käyttää, ja arvo on sama, muuten vaihtoehto "kuihtuu: Euroopan ylös-ja-out osto-optio ... ja alennus, joka vastaanotetaan knock-out päivämäärä jos vaihtoehto on tyrmäsi ennen eräpäivää. " Kaava on helposti muunnettu arvostus myyntioptio, käyttämällä laittaa puhelun pariteetti. Tämä lähentäminen on laskennallisesti halpa ja menetelmä on nopea, ja näyttöä siitä, että approksimaatio voi olla tarkempi hinnoittelussa pitkällä päivätyssä vaihtoehtoja kuin Barone-Adesi ja Whaley.

Black-Scholes käytännössä

Black-Scholes malli eri mieltä todellisuutta monin tavoin, joitakin merkittäviä. On yleisesti palkattu hyödyllinen lähentämisessä, mutta asianmukainen soveltaminen edellyttää ymmärrystä rajansa - sokeasti seuraava malli altistaa käyttäjän odottamaton riski. Merkittävimpiä rajoitukset ovat:

  • aliarviointi äärimmäinen liikkuu, jolloin saatiin häntä riski, joka voidaan suojata out-of-the-money vaihtoehdot;
  • oletus instant, kustannus-vähemmän kaupankäynnin, jolloin saatiin likviditeettiriski, jota on vaikea suojata;
  • oletus paikallaan prosessi, tuottaen volatiliteettiriski, joka voidaan suojata volatiliteetti suojauksesta;
  • oletettiin jatkuvan aikaa ja jatkuvassa kaupankäynnissä, jolloin saatiin kuilu riski, joka voidaan suojata Gamma suojaus.

Lyhyesti, kun Black-Scholes malli voidaan täydellisesti hedge vaihtoehtoja yksinkertaisesti Delta suojaus, käytännössä monia muita lähteitä riski.

Tulokset käyttäen Black-Scholes malli eroavat reaalimaailman hintoja, koska yksinkertaistaminen mallin oletuksista. Yksi merkittävä rajoitus on se, että todellisuudessa turvallisuutta hinnat eivät noudata tiukkaa paikallaan log-normaalia, eikä riskitön korko todella tunnetaan. Varianssi on havaittu olevan ei-vakio johtava malleja kuten GARCH mallintaa volatiliteetin muutoksiin. Hinnoittelu eroja empiirisen ja Black-Scholes malli on jo pitkään havaittu vaihtoehtoja, jotka ovat kaukana out-of-the-rahaa, joka vastaa äärimmäisiä hintojen muutoksiin; tällaiset tapahtumat olisi erittäin harvinaista, jos tuottoa lognormally jaettu, mutta havaitaan paljon useammin käytännössä.

Kuitenkin, Black-Scholes hinnoittelu laajalti käytetty käytännössä, koska se on:

  • helppo laskea
  • hyödyllinen lähentämistä, etenkin kun analysoidaan, mihin suuntaan hinnat liikkuvat ylittäessään kriittisten kohtien
  • vankka perusta lisää hienostunut malleja
  • palautuva, koska mallin alkuperäinen teho, hinta, voidaan käyttää tulona ja yksi muut muuttujat ratkaistu; implisiittinen volatiliteetti näin laskettu käytetään usein lainata vaihtoehto hintoja

Ensimmäinen kohta on itsestään selvää hyötyä. Toiset voidaan edelleen keskustella:

Hyödyllisiä lähentämisestä: vaikka volatiliteetti ei ole vakio, tuloksia mallista ovat usein hyödyllistä perustaa suojaukset oikeassa suhteessa riskin minimoimiseksi. Vaikka tulokset eivät ole täysin tarkkoja, ne toimivat alustava arvio, johon voidaan tehdä oikaisuja.

Perusta lisää hienostunut malleja: Black-Scholes malli on vankka, että se voidaan säätää käsittelemään joitakin sen epäonnistumisia. Sen sijaan, ottaen huomioon joitakin parametreja kuten vakio, ajatellaan niitä muuttujia, ja siten lisätään lähteitä riski. Tämä heijastuu kreikkalaiset, suojaa nämä kreikkalaiset vähentää riskiä aiheuttama ei-vakio luonne näiden parametrien. Muita vikoja ei voida lieventää muuttamalla mallin, kuitenkin, erityisesti hännän riski ja likviditeettiriski, ja nämä ovat sen sijaan hallinnoidaan ulkopuolella mallin, pääasiassa minimoimalla näitä riskejä ja stressitestejä.

Explicit mallinnus: tämä ominaisuus tarkoittaa, että sen sijaan, olettaen volatiliteetti priori ja tietokoneiden hinnat se, voidaan käyttää mallia ratkaista volatiliteetin, joka antaa implisiittinen volatiliteetti vaihtoehto tietyllä hintoja, kestoja ja merkintähinnat. Ratkaiseminen volatiliteetti tietyn joukon kestot ja lakko hinnat voidaan rakentaa implisiittinen volatiliteetti pinta. Tässä hakemuksessa Black-Scholes malli, koordinaattimuunnos hinnasta verkkotunnuksen volatiliteetin verkkotunnuksen saadaan. Sen sijaan, lainata vaihtoehto hinnat mitattuna dollaria per yksikkö, vaihtoehto hinnat voidaan siten lainattu kannalta implisiittinen volatiliteetti, joka johtaa kaupankäynnin volatiliteetin vaihtoehdossa markkinoilla.

Volatiliteetti hymy

Yksi houkuttelevia ominaisuuksia Black-Scholes malli on, että parametrit Malli muu kuin volatiliteetti ovat yksiselitteisesti todettavissa. Kaikki muut tekijät pysyvät samoina, option teoreettinen arvo on monotoninen kasvava funktio implisiittinen volatiliteetti.

Laskemalla implisiittinen volatiliteetti kaupankäynnin vaihtoehtoja eri lakkoja ja maturiteetti, Black-Scholes mallia voidaan testata. Jos Black-Scholes malli hallussa, niin implisiittinen volatiliteetti tietyn varastossa olisi sama kaikille lakkoja ja maturiteetteja. Käytännössä volatiliteetti pinta ei ole tasainen.

Tyypillinen muoto implisiittinen volatiliteetti käyrä tietylle maturiteetti riippuu kohde-etuuden. Osakkeet ovat yleensä vinossa käyrät: verrattuna at-the-money, implisiittinen volatiliteetti on huomattavasti korkeampi matalan lakkoja, ja hieman pienempi suuri lakkoja. Valuutat yleensä enemmän symmetrinen käyrät, jossa implisiittinen volatiliteetti pienimmillään--rahaa, ja korkeammat volatiliteetin molemmissa siivet. Hyödykkeiden usein käänteinen käyttäytymistä osakkeisiin, joilla on korkeampi implisiittinen volatiliteetti korkeampi lakkoja.

Huolimatta volatiliteetti hymy, Black-Scholes PDE ja Black-Scholes kaavaa käytetään edelleen laajasti käytännössä. Tyypillinen lähestymistapa on pitää volatiliteetti pinnan tosiasia markkinoilla, ja käyttää hiljaista volatiliteetti se Black-Scholes malli. Tämä on kuvattu käyttämällä "väärä numero väärässä kaavassa saada oikea hinta." Tämä lähestymistapa antaa myös käyttökelpoinen arvot suojaukset.

Vaikka kehittyneempiä malleja käytetään, kauppiaat mieluummin ajatella volatiliteetti, sillä se antaa niille mahdollisuuden arvioida ja vertailla vaihtoehtoja eri maturiteetti, lakkoja, ja niin edelleen.

Arvottaminen bond vaihtoehtoja

Black-Scholes ei voida suoraan soveltaa side arvopapereihin koska pull-to-par. Koska joukkovelkakirjalainan saavuttaa eräpäivänä, kaikki hinnat mukana joukkolainojen tullut tunnetuksi, mikä vähentää sen volatiliteetti, ja yksinkertainen Black-Scholes malli ei vastaa tätä prosessia. Suuri määrä laajennuksia Black-Scholes, alkaen Musta malli, on käytetty käsitellä tätä ilmiötä. Katso Bond vaihtoehto: arvostus.

Korko-käyrä

Käytännössä korot eivät ole vakio - ne vaihtelevat tenori, antamalla korkokäyrä, jota voidaan interpoloida valita sopiva kurssi käyttää Black-Scholes kaavaa. Toinen näkökohta on, että korot vaihtelevat eri aikoina. Nämä heilahtelut saattavat tehdä merkittävän panoksen hinta, erityisesti pitkän päivätty options.This on yksinkertaisesti kuin korko ja joukkovelkakirjojen hinta suhdetta, joka on kääntäen verrannollinen.

Lyhyt varastossa korko

Se ei ole vapaa ottaa lyhyen varastotilanne. Samoin voi olla mahdollista lainata pitkä varastotilanne pientä maksua. Kummassakin tapauksessa tämä voidaan hoitaa jatkuvana osinkona varten Black-Scholes, edellyttäen että ei ole räikeä epäsuhta lyhyen varastossa vieraan pääoman kustannus ja pitkä osakkeiden lainauksessa tuloja.

Kritiikki

Espen Gaarder Haug ja Nassim Nicholas Taleb väittävät, että Black-Scholes malli pelkästään laaditaan uudelleen nykyisten laajalti käytetty malleja kannalta käytännössä mahdotonta "dynaamisesta suojauksesta" eikä "riski", jotta ne olisivat yhteensopivia valtavirran uusklassinen talousteorian. He myös väittävät, että Boness vuonna 1964 oli jo julkaissut kaava, joka on "todella sama" Black-Scholes osto-optio hinnoittelun yhtälö. Edward Thorp myös väittää arvannut Black-Scholes kaavaa vuonna 1967, mutta piti sitä itse tehdä rahaa hänen sijoittajille. Emanuel Derman ja Nassim Taleb ovat myös arvostelleet dynaamisesta suojauksesta ja todetaan, että tutkijoiden määrä oli ojensi vastaavia malleja ennen musta ja Scholes. Vastauksena Paul Wilmott on puolustanut malli.

Brittiläinen matemaatikko Ian Stewart julkaistu kritiikkiä, jossa hän ehdotti, että "yhtälö itsessään ei ollut todellinen ongelma" ja hän totesi mahdollinen rooli "yksi ainesosa rikas muhennos taloudellisten vastuuttomuudesta, poliittinen kyvyttömyyteen, kieroutuneet kannustimet ja löyhä sääntely" koska sen väärinkäyttö rahoitusalan.

Seuraava artikkeli Bold Ones