Asteen funktio

Matematiikassa asteen funktio, toisen asteen polynomi, polynomin aste 2, tai yksinkertaisesti asteen, on polynomifunktio yhdessä tai useammassa muuttujia, joissa korkeinta asteen termi on toisen asteen. Esimerkiksi asteen funktio kolmen muuttujat x, y ja z sisältää yksinomaan termit x, y, z, xy, XZ, yz, x, y, z, ja vakio:

ainakin yhden kertoimet a, b, c, d, e, tai f toisen asteen termit ovat ei-nolla.

Univariate asteen funktio on muotoa

on yhden muuttujan x.The kuvaaja yksiulotteista asteen funktio on paraabeli, jonka symmetria-akseli on yhdensuuntainen y-akselin, kuten on esitetty oikealla.

Jos asteen funktio on asetettu yhtä suureksi kuin nolla, niin tulos on toisen asteen yhtälö. Ratkaisut yhden muuttujan yhtälö kutsutaan juuret yksiulotteista toiminto.

Bivariate tapaus kannalta muuttujat x ja y on muotoa

ainakin yhden a, b, c ei ole nolla, ja yhtälö, jossa tämä toiminto nolla aiheuttaa kartioleikkaukselle.

Yleisesti voi olla mielivaltaisen suuri määrä muuttujia, jolloin tuloksena pinta kutsutaan Quadric, mutta suurimmassa määrin termi on oltava korkeakoulututkinnon 2, kuten X, xy, yz, jne.

Alkuperä sana

Adjektiivi asteen tulee latinan sanasta quadrātum. Termi kuten X kutsutaan neliön algebran, koska se on alue neliö puoli x.

Yleensä etuliite quadr- osoittaa numero 4. Esimerkkejä ovat nelisivuinen ja neljänneksessä. Quadratum on latinan sanasta neliö koska neliön on neljä sivua.

Terminologia

Kertoimet

Kertoimet polynomin katsotaan usein olla reaali- tai kompleksilukuja, mutta itse asiassa, polynomi voidaan määritellä minkä tahansa renkaan.

Aste

Käytettäessä termiä "asteen polynomi", kirjoittajat joskus tarkoittaa "ottaa aste tarkalleen 2", ja joskus ", joilla tutkinnon enintään 2". Jos tutkinto on alle 2, tämä voidaan kutsua "degeneroitunut tapaus". Yleensä yhteydessä perustaa, kumpi on tarkoitettu.

Joskus sana "tilaus" käytetään merkityksessä "aste", esim toisen kertaluvun polynomin.

Muuttujat

Asteen polynomi voi käsittää yhden muuttujan x, tai useita muuttujia, kuten x, y ja z.

Yhden muuttujan tapaus

Mikä tahansa yhden muuttujan asteen polynomi voidaan kirjoittaa

jossa x on muuttuja, ja a, b, ja c ovat kertoimia. Peruskoulun algebran, kuten polynomi syntyy usein muodossa asteen yhtälö. Ratkaisuja tähän yhtälö kutsutaan juuret toisen asteen polynomi, ja voi löytyä kautta factorization, neliöksi täydentäminen, kuvaajien, Newtonin menetelmä, tai käyttämällä asteen yhtälön. Jokaisessa quadratic polynomi on niihin liittyvien asteen funktio, jonka kuvaajan on paraabeli.

Bivariate tapaus

Tahansa toisen asteen polynomi, kaksi muuttujaa voidaan kirjoittaa

jossa x ja y ovat muuttujia, ja a, b, c, d, e, ja f ovat kertoimia. Tällaiset polynomit ovat olennaisia ​​tutkimuksen kartioleikkausten. Vastaavasti, toisen asteen polynomit kolme tai useampia muuttujia vastaavat Quadric pinnoille ja hyperpintoja. Vuonna lineaarialgebraa, toisen asteen polynomeja voidaan yleistää käsite asteen muodossa vektoriavaruus.

Muodot univariate asteen funktio

Univariate asteen funktio voidaan ilmaista kolmessa eri muodossa:

  • kutsutaan vakiolomakkeella,
  • kutsutaan tekijöihin muodossa, jossa X1 ja X2 ovat juuret asteen funktio ja liuokset vastaavan asteen yhtälö.
  • kutsutaan kärjen muodossa, missä h ja k ovat x- ja y-koordinaatit on kärki, vastaavasti.

Voit muuntaa vakiomuotoinen lomake laskelmiin muodossa, yksi on vain asteen yhtälön määrittämiseksi kaksi juuret x1 ja x2. Voit muuntaa vakiolomakkeella solmuun muodossa, yksi on prosessi nimeltä neliöksi täydentäminen. Voit muuntaa laskelmiin normaalimuotoon, yksi on kertoa, laajentaa ja / tai jakaa tekijät.

Kuvaaja yhden muuttujan funktion

Riippumatta muodon, kuvaaja univariate asteen funktio f = ax + bx + c on paraabeli. Vastaavasti tämä on kuvaaja kahden muuttujan asteen yhtälö y = ax + bx + c.

  • Jos & gt; 0 ,, paraabeli aukeaa ylöspäin.
  • Jos & lt; 0 ,, paraabelin avautuu alaspäin.

Kerroin ohjaa nopeutta kasvu asteen funktio alkaen huippupiste, suurempi myönteinen arvoja tekee toiminnon kasvua nopeammin ja kuvaaja näyttää enemmän kiinni.

Kertoimet b ja valvovat yhdessä symmetria-akselin paraabelin joka on.

Kerroin b yksin rinne paraabelin y-akselilla kuunteluja.

Kerroin c ohjaa korkeus paraabelin, tarkemmin sanottuna se on piste, jossa paraabelin siepata y-akselilla.

Kärki

Huippupiste paraabeli on paikka, jossa se kääntyy; siten, sitä kutsutaan myös käännekohta. Jos asteen funktio on Vertex muodossa, kärki on. Menetelmällä neliöksi täydentäminen, voi kääntyä vakiolomakkeella

osaksi

joten paraabelin huippupiste standardi muodossa on

Jos asteen funktio on osavarmuusluvuilla muodossa

keskiarvo kahdesta juuret, ts

Onko X-koordinaatti vertex, ja siten kärki on

Kärki on myös suurin piste jos & lt; 0, tai minimikohta jos & gt; 0.

Pystyviiva

joka kulkee kärjen on myös symmetria-akselin paraabelin.

Suurin ja pienin pistettä

Käyttämällä calculus, Vertex pisteen, joka on enintään tai vähintään toiminnon, voidaan saada etsimällä juuret johdannaisen:

antaminen

vastaavaan funktioarvon

joten jälleen kärki koordinaatit voidaan ilmaista

Juuret yhden muuttujan funktion

Juuret yhden muuttujan asteen funktio

ovat arvot x, joille f = 0.

Kun kertoimet, b ja c, ovat todellisia tai monimutkaisia, juuret ovat

jossa erotteluanalyysi on määritelty

Neliöjuuri univariate asteen funktio

Neliöjuuri univariate asteen funktio aiheuttaa yksi neljästä kartioleikkausten, lähes aina joko ellipsin tai hyperbelin.

Jos niin yhtälö kuvaa hyperbeli, kuten voidaan nähdä neliöimällä molemmin puolin. Suunnat akselit hyperbeli määräytyvät ordinaatta vähintään pisteen vastaavan paraabelin. Jos ordinaatta on negatiivinen, hyperbeli n pääakseli on vaakasuora, kun taas jos ordinaatta on positiivinen sitten hyperbeli n pääakseli on pystysuora.

Jos sitten yhtälö kuvataan joko ympyrä tai muu soikion tai ei mitään. Jos ordinaatasta maksimipiste vastaavan parabola on positiivinen, niin sen neliöjuuri kuvaa ellipsin, mutta jos ordinaatta on negatiivinen silloin se kuvaa tyhjä uraa pistettä.

Iterointi

Iteroida toiminto, yksi koskee toiminnon toistuvasti käyttäen lähtö yhden iteraation kuin tulo seuraavaan.

Ei voi aina päätellä analyyttinen muodossa, mikä tarkoittaa n iteraation. Mutta on olemassa joitakin analyyttisesti taipuisa tapauksissa.

Esimerkiksi iteratiivista yhtälö

yksi on

missä

Joten induktio,

voidaan saada, jos voidaan helposti laskea, koska

Lopuksi olemme

sillä ratkaisu.

Katso Topologiset konjugaattiluokat tarkemmin välisestä suhteesta f ja g. Ja katso Complex asteen polynomi kaoottinen käyttäytymistä yleisesti iteraation.

Logistisen kartan

parametrin 2 & lt; R & lt; 4 voidaan ratkaista tietyissä tapauksissa, joista yksi on kaoottinen, ja yksi, joka ei ole. Vuonna kaoottinen asia R = 4 ratkaisu on

jossa ensimmäinen edellytys parametri annetaan. Järkevän, kun rajallinen määrä toistojen Mapsin määräajoin järjestyksessä. Mutta melkein kaikki ovat irrationaalisia, ja muun irrationaalinen, ei koskaan toistaa itseään - se on epäsäännöllisesti ja näyttelyt herkkä riippuvuus alkuehdot, joten se sanotaan olevan kaoottinen.

Liuosta, jossa logistisen kartan, kun r = 2 on

varten. Koska mitään arvoa kuin epävakaa kiinteän pisteen 0, termi menee 0, kun n menee äärettömään, niin menee vakaa kiinnekohta

Bivariate asteen funktio

Kahden muuttujan asteen funktio on toisen asteen polynomi muodossa

jossa A, B, C, D ja E ovat kiinteitä kertoimia, ja F on vakiotermi. Tällainen toiminta kuvataan asteen pinta. Asetus nolla kuvaa risteyksessä pinnan tason kanssa, joka on locus pisteitä, joka vastaa kartioleikkauksen.

Minimi / maksimi

Jos toiminto ei ole suurin tai pienin, sen kuvaaja muodostaa hyperbolinen paraboloidin.

Jos toiminto on minimi, jos & gt; 0 ja enintään jos & lt; 0, sen kuvaaja muodostaa elliptinen paraboloidin. Tässä tapauksessa pienin tai suurin tapahtuu, jos:

Jos ja toiminto ei suurin tai pienin, sen kuvaaja muodostaa parabolinen sylinteri.

Jos ja toiminta saavuttaa maksimi / minimi linja. Vastaavasti minimi, jos & gt; 0 ja enintään jos & lt; 0, sen kuvaaja muodostaa parabolinen sylinteri.

Edellinen artikkeli Aikamatka Urban Legends
Seuraava artikkeli Animaatio Show