Alaryhmä

Matematiikassa annetaan ryhmän G alle laskutoimitus *, osajoukko H G kutsutaan alaryhmä G jos H muodostaa myös ryhmässä toiminta *. Tarkemmin, H on alaryhmä G jos rajoittaminen * ja on ryhmä operaatio H. Tämä on yleensä edustaa notationally mukaan, luetaan "H on alaryhmä G".

Asianmukainen ryhmän alaryhmä, G on alaryhmä H joka on asianmukainen osajoukko G. triviaaleja alaryhmä mitään ryhmää on alaryhmä {e} koostuu vain ykkösalkio. Jos H on alaryhmä G, niin G on joskus kutsutaan overgroup H.

Samaa määritelmiä sovelletaan yleisemmin kun G on mielivaltainen Puoliryhmä, mutta tämä artikkeli hoitaa vain alaryhmiä ryhmien. Ryhmä G on joskus merkitty järjestetty pari, yleensä korostaa toiminnan * kun G siirretään useita algebrallisia tai muita rakenteita.

Tämä artikkeli kirjoittaa AB, kuten on tavallista.

Perusominaisuudet alaryhmien

  • Osajoukko H ryhmän G on alaryhmä G jos ja vain jos se on-tyhjä ja suljettu tuotteiden ja käänteisesti verrannollisia. Siinä tapauksessa, että H on äärellinen, niin H on aliryhmä jos ja vain jos H on suljettu tuotteita.
  • Yllä ehto voidaan todeta suhteen homomorfismi; eli H on ryhmän alaryhmä, G, jos ja vain jos H on osajoukko G ja on sisällyttäminen homomorfismi = jokaiselle) H: G.
  • Identiteetti alaryhmä on identiteetti ryhmä: jos G on ryhmä identiteetti eG, ja H on alaryhmä G identiteetin eH, sitten eH = eG.
  • Käänteistä elementin alaryhmä on päinvastainen tekijä ryhmä: jos H on ryhmän alaryhmä, G, ja a ja b ovat elementtejä H siten, että ab = ba = eH, niin ab = ba = eG .
  • Risteyksessä alaryhmien A ja B on taas alaryhmä. Liitto alaryhmien A ja B on alaryhmä, jos ja vain jos joko A tai B sisältää muita, koska esimerkiksi 2 ja 3 ovat liitto 2Z ja 3Z mutta niiden summa 5 ei. Toinen esimerkki on liitto x-akselin ja y-akselin tasossa; jokainen näistä esineistä on alaryhmä, mutta heidän liittonsa ei ole. Tämä toimii myös esimerkkinä kahteen alaryhmään, jonka leikkauspiste on juuri identiteetti.
  • Jos S on osajoukko G, niin on olemassa vähintään alaryhmä, joka sisältää S, joka voidaan löytää ottamalla risteyksessä kaikkien alaryhmien sisältävät S; se merkitään & lt; S & gt; ja sanotaan olevan alaryhmä syntyy S. elementti G on & lt; S & gt; jos ja vain jos se on rajallinen tuote elementtejä S ja niiden käänteisesti verrannollisia.
  • Jokainen elementti on ryhmän G generoi syklisen alaryhmä & lt; & gt ;. Jos & lt; & gt; on isomorfinen Z / nZ jonkin positiivinen kokonaisluku n, niin n on pienin positiivinen kokonaisluku, jolle = e, ja n on nimeltään järjestyksessä. Jos & lt; & gt; on isomorfinen Z, niin sanotaan ääretön järjestys.
  • Alaryhmiä tahansa ryhmän muodostavat täydellisen ristikko alle osallisuutta, kutsutaan ristikko alaryhmiä. Jos e on identiteetti G, niin triviaali ryhmä {e} on pienin alaryhmä G, kun suurin alaryhmä on ryhmän G itse.

Jäännösluokkaa ja Lagrangen lause

Koska alaryhmä H ja jotkut G, me määrittelemme vasemmalla jäännösluokan aH = {ah: h H}. Koska on käännettävissä, kartta φ: H → aH antama φ = Ah on bijektio. Lisäksi jokainen osa G sisältyy nimenomaan yksi vasemmalla jäännösluokan H; vasemmalle jäännösluokkaa ovat ekvivalenssiluokat vastaava ekvivalenssirelaatio a1 ~ a2 jos ja vain jos a1a2 on H. määrä jäljellä jäännösluokkaa H kutsutaan indeksi H G ja merkitään.

Lagrangen lause, että vuoden rajallinen ryhmä G ja alaryhmä H,

jossa | G | ja | H | Merkitään tilaukset G ja H, vastaavasti. Erityisesti järjestyksessä jokaisen alaryhmä G on jakaja | G |.

Oikea jäännösluokkaa määritellään analogisesti: Ha = {ha: h H}. Ne ovat myös ekvivalenssiluokkien sopivan ekvivalenssirelaation ja niiden määrä on sama.

Jos aH = Ha jokaista G, niin H sanotaan olevan normaali aliryhmä. Jokainen alaryhmä indeksi 2 on normaali: vasen jäännösluokkaa, ja myös oikea jäännösluokkaa, ovat yksinkertaisesti alaryhmä ja sen täydennys. Yleisemmin, jos p on pienin ensisijainen jakamalla järjestyksessä rajallinen ryhmän G, mikä tahansa alaryhmä indeksi p on normaalia.

Esimerkki: alaryhmiä Z8

Olkoon G syklinen ryhmä Z8 jonka alkiot ovat

ja jonka ryhmä toiminta on modulo kahdeksan. Sen Cayley taulukko on

Tämä ryhmä on kaksi triviaali alaryhmää: J = {0,4} ja H = {0,2,4,6}, jossa j on myös alaryhmä H. Cayley taulukossa H on sivun vasemmassa neljänneksessä Cayley taulukko G. ryhmä G on syklinen, ja niin ovat sen alaryhmien. Yleisesti, alaryhmiä sykliset ryhmät ovat myös syklisiä.

Esimerkki: alaryhmiä S4

Jokaisella ryhmällä on niin paljon pieniä alaryhmiä puolueettomina elementtejä tärkeimmistä lävistäjä:

Triviaali ryhmä ja kahden elementin ryhmään Z2. Nämä pienet alaryhmiä ei lasketa seuraavassa luettelossa.

12 elementtiä

8 elementit

6 elementtiä

4 elementtiä

3 elementtiä

Edellinen artikkeli Amiraali
Seuraava artikkeli Aurinkoenergia Pakistanissa